Question

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，且對(duì)任意,都有，數(shù)列前n項(xiàng)的和.

（1）若數(shù)列是等比數(shù)列，求的值和；

（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，求和的關(guān)系式；

（3），當(dāng)時(shí)，求證: 是一個(gè)常數(shù).

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）確定數(shù)列的通項(xiàng)，利用，可得c的值，分類討論求和可得；

（2）求出數(shù)列的公差，利用，建立關(guān)系式，可得和的關(guān)系式；

（3）利用分析法進(jìn)行證明.

（1）由題意得：，

，

因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以

當(dāng)時(shí)，，，

當(dāng)且時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，

所以

（2）由題意得：

，，

，

（3）計(jì)算，

猜想

欲證明恒成立

只需要證明恒成立

即要證明恒成立

即要證明恒成立（***）

，

，

（***）左邊

（***）右邊

所以（***）成立

方法二：計(jì)算

猜想

，

由于，上式兩邊同除以，

得.

所以，.

所以是常數(shù)