Question

19．已知函數(shù)y=lg（1-2cos2x）
①求函數(shù)的最小正周期．
②定義域和值域．
③判斷函數(shù)的奇偶性．
④求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 分別根據(jù)函數(shù)周期性，奇偶性，定義域和值域，單調(diào)性的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①由1-2cos2x＞0，得cos2x＜$\frac{1}{2}$，
∵函數(shù)y=1-2cos2x的周期是π，
∴函數(shù)y=lg（1-2cos2x）的最小正周期是π．
②由1-2cos2x＞0，得cos2x＜$\frac{1}{2}$，
即$\frac{π}{3}$+2kπ＜2x＜$\frac{5π}{3}$+2kπ，
得$\frac{π}{6}$+kπ＜x＜$\frac{5π}{6}$+kπ，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{5π}{6}$+kπ），k∈Z，
∵0＜1-2cos2x≤3，
∴l(xiāng)g（1-2cos2x）≤lg3，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，lg3]．
③函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
則f（-x）=lg（1-2cos2x）=f（x），則函數(shù)是偶函數(shù)．
④設(shè)t=1-2cos2x，當(dāng)$\frac{π}{3}$+2kπ＜2x≤2kπ+π，即$\frac{π}{6}$+kπ＜x≤kπ+$\frac{π}{2}$時(shí)，v=cos2x為減函數(shù)，函數(shù)t=1-2v為減函數(shù)，而y=lgt為增函數(shù)，則此時(shí)函數(shù)y=lg（1-2cos2x）為增函數(shù)，
當(dāng)2kπ+π≤2x＜$\frac{5π}{3}$+2kπ，即kπ+$\frac{π}{2}$≤x＜$\frac{5π}{6}$+kπ時(shí)，函數(shù)v=cos2x為增函數(shù)，t=1-2v為減函數(shù)，而y=lgt為增函數(shù)，則此時(shí)函數(shù)y=lg（1-2cos2x）為減函數(shù)，
即函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$+kπ），函數(shù)的增區(qū)間為（$\frac{π}{6}$+kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合考查，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．