Question

已知函數(shù)和

（1）若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最大值.

 

Answer 1

（1）;（2）

【解析】

試題分析：（1）求出的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720043678911087/SYS201411172004470551812339_DA/SYS201411172004470551812339_DA.003.png"> 的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為3k，故需要分類(lèi)討論其單調(diào)性，求出不同情況下的單調(diào)區(qū)間，讓一個(gè)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)落在區(qū)間（1,2），列出關(guān)于k的不等式組，即可解出k的取值范圍；(2)要使當(dāng)時(shí)，不等式，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)=，轉(zhuǎn)化為求使≥0對(duì)x≥0恒成立問(wèn)題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可求出是≥0恒成立在x≥0上恒成立時(shí)，k的取值范圍.

試題解析：（1） 1分

①當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，不滿(mǎn)足題意； 2分

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間不單調(diào)，所以，解得 4分

綜上的取值范圍是. 5分

（2）令

依題可知在上恒成立 6分

，令=，

有且 7分

①當(dāng)即時(shí)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720043678911087/SYS201411172004470551812339_DA/SYS201411172004470551812339_DA.030.png">，所以

所以函數(shù)即在上單調(diào)遞增，又由

故當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720043678911087/SYS201411172004470551812339_DA/SYS201411172004470551812339_DA.036.png">，所以在上恒成立，滿(mǎn)足題意； 10分

②當(dāng)即時(shí)，

當(dāng)，，函數(shù)即單調(diào)遞減，

又由，所以當(dāng)，

所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720043678911087/SYS201411172004470551812339_DA/SYS201411172004470551812339_DA.036.png">，所以時(shí)，

這與題意在上恒成立相矛盾，故舍. 13分

綜上，即的最大值是. 14分

考點(diǎn): 常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則；函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；不等式恒成立問(wèn)題；運(yùn)算求解能力；轉(zhuǎn)化思想