Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

(1)當(dāng)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(3)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(I) ；(II)見解析；（III）。

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出的極小值；（2）由，得，令，則，，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，由此能求出的取值范圍.

試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，，所以， ，切點(diǎn)坐標(biāo)為所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

(2)因?yàn)楹瘮?shù)令，得，設(shè)所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取極大值，

令，即，解得或，由函數(shù)的圖像知：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)和函數(shù)無交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)和函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)和函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；

④當(dāng)時(shí)，函數(shù)和函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)。

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

（3）對(duì)任意恒成立，等價(jià)于恒成立，設(shè)則在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍.