Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-a|x-2|，其中a＞0
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）當x∈[2，4]，有f（x）＞0恒成立，求a的范圍；
（3）當x∈[0，4]時，若函數(shù)f（x）的最大、最小值分別為M（a）、N（a），求M（a）-N（a）

Answer 1

分析 （1）討論當x≥2時，當x＜2時，求出對稱軸，討論與區(qū)間的關系，即可得到所求單調區(qū)間；
（2）由題意可得x²-a|x-2|＞0，x=2時，不等式顯然成立；2＜x≤4時，即有a＜$\frac{{x}^{2}}{x-2}$，運用基本不等式，可得最小值，進而得到a的范圍；
（3）去掉絕對值，求出對稱軸，討論當0＜a≤4時，當4＜a≤6時，當a＞6時，討論對稱軸和區(qū)間的關系，運用單調性可得最值，進而f（x）的最值，可得它們的差．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x²-|x-2|，
當x≥2時，f（x）=x²-x+2=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
可得在x≥2時，f（x）遞增；
當x＜2時，f（x）=x²+x-2=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
可得在x≤-$\frac{1}{2}$，f（x）遞減；在-$\frac{1}{2}$＜x＜2時，f（x）遞增．
綜上可得f（x）的增區(qū)間為（-$\frac{1}{2}$，+∞），減區(qū)間為（-∞，-$\frac{1}{2}$）；
（2）當x∈[2，4]，有f（x）＞0恒成立，
即為x²-a|x-2|＞0，x=2時，不等式顯然成立；
2＜x≤4時，即有a＜$\frac{{x}^{2}}{x-2}$=（x-2）+$\frac{4}{x-2}$+4，
由0＜x-2≤2，可得（x-2）+$\frac{4}{x-2}$+4≥2$\sqrt{（x-2）•\frac{4}{x-2}}$+4=8，
當且僅當x-2=2即x=4時，取得最小值8，
則a的范圍是（0，8）；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-2a，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-ax+2a，2＜x≤4}\end{array}\right.$，
當0≤x≤2時，f（x）的對稱軸為x=-$\frac{a}{2}$＜0，f（x）在[0，2]遞增，
即有f（0）為最小值且為-2a，f（2）為最大值4；
當2＜x≤4時，對稱軸為x=$\frac{a}{2}$，當0＜a≤4時，$\frac{a}{2}$≤2，（2，4]為增區(qū)間，
即有f（x）的最小值為f（2）=4，f（4）=16-2a；
當4＜a≤6時，f（x）的最小值為f（$\frac{a}{2}$）=2a-$\frac{{a}^{2}}{4}$，最大值為f（4）=16-2a；
當a＞6時，f（x）在（2，4]遞減，可得f（4）最小，且為16-2a．
綜上可得，當0＜a≤6時，M（a）=16-2a，N（a）=-2a，M（a）-N（a）=16；
當a＞6時，M（a）=4，N（a）=-2a，M（a）-N（a）=4+2a．

點評 本題考查帶絕對值問題的單調性和恒成立，以及最值問題的解法，注意運用分類討論的思想方法，以及去絕對值的方法，正確分類和討論對稱軸和區(qū)間的關系是解題的關鍵．