Question

7．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+3），當x∈（0，$\frac{3}{2}$）時，f（x）=sin πx，且f（$\frac{3}{2}$）=0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[-6，6]上的零點個數(shù)是（　�。�

• A． 18
• B． 17
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 可判斷f（x）的周期為3，作函數(shù)f（x）在[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]上的圖象，從而結(jié)合圖象及周期性確定零點的個數(shù)．

解答 解：∵f（x）=f（x+3），
∴f（x）的周期為3，
∵當x∈（0，$\frac{3}{2}$）時，f（x）=sin πx，且f（$\frac{3}{2}$）=0，且f（x）是奇函數(shù)；
∴作函數(shù)f（x）在[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]上的圖象如下，
，
結(jié)合圖象可知，
f（-$\frac{3}{2}$）=f（-$\frac{9}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{9}{2}$）=0，
f（-1）=f（-4）=f（2）=f（5）=0，
f（1）=f（-2）=f（-5）=f（4）=0，
f（0）=f（-3）=f（-6）=f（3）=f（6）=0，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[-6，6]上的零點個數(shù)是17；
故選：B．

點評 本題考查了函數(shù)的零點的個數(shù)的判斷及數(shù)形結(jié)合的思想應用．