Question

13．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若$\frac{a}=\frac{b+\sqrt{3}c}{a}$，sinC=2$\sqrt{3}$sinB，則tanA$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理求得和已知等式分別求得b和c，b和a的關(guān)系，最后利用余弦定理求得cosA的值，求得A，則tanA可求得．

解答 解：∵sinC=2$\sqrt{3}$sinB，
∴c=2$\sqrt{3}$b，
∴$\frac{a}=\frac{b+\sqrt{3}c}{a}$=$\frac{b+6b}{a}$，
∴a²=7b²，
cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{^{2}+12^{2}-7^{2}}{4\sqrt{3}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$，
∴tanA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．正弦定理和余弦定理是解三角形問題常用公式，應(yīng)能熟練和靈活運(yùn)用．