Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y²=4x的焦點F交拋物線于A、B兩點．
（1）若|AB|=8，求直線l的斜率
（2）若|AF|=m，|BF|=n．求證為定值．

Answer 1

（1）解：拋物線的焦點坐標為（1，0），準線方程為：x=-1
設直線l方程為：y=k（x-1），代入y²=4x得[k（x-1）]²=4x，即k²x²-（2k²+4）x+k²=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，x₁x₂=1
∵|AB|=8，∴x₁+x₂+2=8
∴，∴k²=1
∴k=1或-1
（2）證明：由（1）知，|AF|=m=x₁+1，|BF|=n=x₂+1．
∴===
∵，x₁x₂=1
∴==1
∴
分析：（1）求出拋物線的焦點坐標，準線方程，設直線l方程為：y=k（x-1），代入y²=4x得[k（x-1）]²=4x，利用韋達定理及拋物線的定義，即可求直線l的斜率
（2）由（1）知，|AF|=m=x₁+1，|BF|=n=x₂+1，表示出．利用韋達定理代入化簡即可得出結(jié)論．
點評：本題重點考查拋物線的標準方程，考查拋物線過焦點的弦，利用拋物線的定義，正確運用韋達定理是解題的關鍵．