Question

【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， 的最大值為.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）函數(shù)，若對任意的，總存在，使不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）或

【解析】試題分析：

（1）由題意先求得函數(shù)具有性質(zhì)，于是可得當(dāng)時(shí)， ，利用導(dǎo)數(shù)可判斷在上單調(diào)遞增，故，根據(jù)條件得到．（2）由于“對任意的，總存在，使不等式恒成立”等價(jià)于“”，故可將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或其值域．

試題解析：

（1）∵，即，

∴，

∴，

當(dāng)時(shí)， ，

∴當(dāng)時(shí)， ，

∴.

又，

∴恒成立，

∴在上單調(diào)遞增，

∴，

令，解得．

∴實(shí)數(shù)的值為2．

（2）當(dāng)時(shí)， ，

∴，

∴函數(shù)在單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)， ．

又當(dāng)時(shí)， ，

∴．

①當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，

∴．

∵對任意的，總存在，使不等式恒成立，

∴

解得；

②當(dāng)時(shí)， ,函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，

∴，

同①可得，

解得；

綜上或．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍．