Question

【題目】（本小題滿分12分）

已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，其離心率，點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值是．

(1)求橢圓的方程；

(2)若過橢圓右頂點(diǎn)的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

【解析】

（1）由題意可知解方程即可得解；

（2）設(shè)直線的方程為，，由直線與橢圓聯(lián)立得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而得中點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得的垂直平分線方程，令x=0可得，再由，用坐標(biāo)表示即可解.

（1）由題意可知解得，，

所以橢圓方程為.

（2）由（1）知，設(shè)直線的方程為，，

把代入橢圓方程，

整理得，

所以，則，

所以中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則直線的垂直平分線方程為，得

又，即，

化簡(jiǎn)得，

解得

故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.