Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的方程為：，直線的方程為.

（1）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；

（2）當(dāng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，求直線的方程；

（3）在（2）的前提下，若為直線上的動(dòng)點(diǎn)，且圓上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析.

(2).

(3).

【解析】分析：（1）直線l可理解為過(guò)定點(diǎn)的直線系，求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)；

（2）說(shuō)明直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，圓心與定點(diǎn)連線與直線l垂直，求出斜率即可得到直線的方程；．

（3）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為以為圓心， 為半徑畫(huà)圓，當(dāng)圓與圓相交時(shí)滿足題意.

詳解：（1），

由 得 ，

即直線過(guò)定點(diǎn)M.

（）方法一：由題意可知：圓心C：，

，

又當(dāng)所截弦長(zhǎng)最短時(shí)， ，

.

方法二：∵圓心到直線的距離，

，

設(shè)弦長(zhǎng)為，則，

當(dāng)所截弦長(zhǎng)最短時(shí)， 取最大值，

∴，令，

．

令

，

當(dāng)時(shí)， 取到最小值．

此時(shí)， 取最大值，弦長(zhǎng)取最小值，

直線上方程為．

（）設(shè)，

當(dāng)以為圓心， 為半徑畫(huà)圓，當(dāng)圓與圓剛好相外切時(shí)，

，

解得或，

由題意，圓與圓心有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)符合題意，

∴點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為．