Question

【題目】知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）討論的單調(diào)性；

（3）若，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1).

(2)見解析.

(3).

【解析】分析：（1）根據(jù)，代入得到，代入求得點(diǎn)坐標(biāo)為 ；求出導(dǎo)函數(shù)，代入 得到斜率為，因而求得切線方程為。

（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，對(duì)討論不同情況下導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到單調(diào)區(qū)間。

（3）根據(jù)（2）及恒成立，可得。構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)及其在上的單調(diào)性解關(guān)于m的不等式，求得m的取值范圍。

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，

，則，，

故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.

（2） ，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，若，；若，.

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，若，；若，.

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（3）∵，∴由（2）知.

設(shè)，，

∵，∴.

∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，

故的取值范圍為.