Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且橢圓C上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$+2
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=-\frac{7}{16}$成立？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓的定義和離心率公式、以及a，b，c的關(guān)系，求出a的值，進(jìn)而可求b的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）先利用特殊位置，猜想點(diǎn)M的坐標(biāo)，再證明一般性也成立即可．

解答 解：（1）由題意，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由橢圓的定義可得，2a+2c=2$\sqrt{2}$+2，
解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）假設(shè)x軸上存在點(diǎn)M（m，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=-\frac{7}{16}$成立．
橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，A（$\sqrt{2}$，0），B（-$\sqrt{2}$，0），
則（$\sqrt{2}$-m）（-$\sqrt{2}$-m）=-$\frac{7}{16}$，
解得m=±$\frac{5}{4}$①
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可得A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-$\frac{7}{16}$，即為（1-m，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）•（1-m，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-$\frac{7}{16}$，
即為（1-m）²=$\frac{1}{16}$
∴m=$\frac{5}{4}$或m=$\frac{3}{4}$②
由①②可得m=$\frac{5}{4}$．
下面證明m=$\frac{5}{4}$時(shí)，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=-\frac{7}{16}$成立．
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，結(jié)論成立；
當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=ty+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線方程代入橢圓方程，整理可得（t²+2）y²+2ty-1=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2t}{2+{t}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{t}^{2}+2}$，
∴$\overrightarrow{MA}$=（x₁-$\frac{5}{4}$，y₁）•（x₂-$\frac{5}{4}$，y₂）=（ty₁-$\frac{1}{4}$）（ty₂-$\frac{1}{4}$）+y₁y₂
=（t²+1）y₁y₂-$\frac{1}{4}$t（y₁+y₂）+$\frac{1}{16}$
=$\frac{-2{t}^{2}-2+{t}^{2}}{2（{t}^{2}+2）}$+$\frac{1}{16}$=-$\frac{7}{16}$，
綜上，x軸上存在點(diǎn)M（$\frac{5}{4}$，0），使得$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=-\frac{7}{16}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查存在性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵的先猜后證，屬于中檔題．