Question

9．如圖，在四棱錐 A-BCDE中，側(cè)面△ADE為等邊三角形，底面 BCDE是等腰梯形，且CD∥B E，DE=2，CD=4，∠CD E=60°，M為D E的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，且AC=4．
（1）求證：平面 ADE⊥平面BCD；
（2）求證：FB∥平面ADE；
（3）求四棱錐A-BCDE的體積．

Answer 1

分析 （1）利用等邊三角形的性質(zhì)可得AM⊥DE，在△DMC中，利用余弦定理可得MC²=13，利用勾股定理的逆定理可得：AM⊥MC，再利用線面垂直與面面垂直的判定定理即可證明．
（2）分別取AD，DC的中點(diǎn)G，N，連接FG，GE，F(xiàn)N，NB．利用三角形中位線定理與平行四邊形的性質(zhì)可得：$FG\underset{∥}{=}DN$，可得△BCN是等邊三角形，可得四邊形EBND是平行四邊形，$DN\underset{∥}{=}EB$，$FB\underset{∥}{=}GE$，可得FB∥平面ADE；
（3）過點(diǎn)B作BH⊥NC于點(diǎn)H，可得BH．又EB=ND=2，利用四棱錐A-BCDE的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{四邊形EBCD}×AM$，即可得出．

解答 （1）證明：∵△AD E是等邊三角形，M是D E的中點(diǎn)，
∴AM⊥DE，${A}{M}=\sqrt{3}$，
∵在△DMC中，DM=1，∠CDM=60°，CD=4，
∴MC²=4²+1²-2×4×1×cos60°=13，
∴${M}C=\sqrt{13}$，
∵在△AMC中，A M²+MC²=3+13=16=AC²，
∴AM⊥MC，
∵M(jìn)C∩DE=M，MC?平面BCD，DE?平面BCD，
∴AM⊥平面BCD，
∵AM?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面BCD．
（2）證明：分別取AD，DC的中點(diǎn)G，N，連接FG，GE，F(xiàn)N，NB．
∵AC=DC，F(xiàn)，NF分別為AC，DC的中點(diǎn)，
∴$FN\underset{∥}{=}\frac{1}{2}AD$，∴$FN\underset{∥}{=}GD$，
∴FN$\underset{∥}{=}$DN，
∴四邊形DNFG是平行四邊形，
∴$FG\underset{∥}{=}DN$，
∵點(diǎn)N是DC的中點(diǎn)，
∴BC=NC，又∠BCN=60°，
∴△BCN是等邊三角形，
∴∠CNB=∠CDE=60°，
∴$BN\underset{∥}{=}DE$，
∴四邊形EBND是平行四邊形，
∴$DN\underset{∥}{=}EB$，
∴$FB\underset{∥}{=}GE$，
又?平面ADE，GE?平面ADE，
∴FB∥平面ADE；
（3）解：過點(diǎn)B作BH⊥NC于點(diǎn)H，則BH=$\sqrt{B{C}^{2}-C{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
由（2）可知：四邊形EBND是平行四邊形，
∴EB=ND=2，
∴底面等腰梯形BCDE的面積S_{四邊形EBCD}=$\frac{1}{2}×（2+4）×\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$，
∴四棱錐A-BCDE的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{四邊形EBCD}×AM$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰梯形與平行四邊形的性質(zhì)、線面面面平行垂直的判定與性質(zhì)定理、四棱錐的體積計(jì)算公式、三角形中位線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．