Question

6．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個頂點是（0，1），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知矩形ABCD的四條邊都與橢圓C相切，設(shè)直線AB方程為y=kx+m，求矩形ABCD面積的最小值與最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個頂點是（0，1），離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出a，b，c，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）分類討論，確定直線方程與橢圓方程聯(lián)立，表示出面積，即可求矩形ABCD面積的最小值與最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的一個頂點是（0，1），
所以b=1…（1分）
又，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，即$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a²=b²+c²
解得 a=2，…（3分）
故橢圓C的方程是$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)k=0時，橢圓的外切矩形ABCD面積為8．…（1分）
當(dāng)k≠0時，橢圓的外切矩形ABCD的邊AB所在直線方程為y=kx+m，
所以，直線BC和AD的斜率均為$-\frac{1}{k}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4{y^2}=4\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消去y得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-4=0…（2分）
△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-4）=0
化簡得：m²=4k²+1…（3分）
所以，直線AB方程為$y=kx-\sqrt{4{k^2}+1}$
直線DC方程為$y=kx+\sqrt{4{k^2}+1}$
直線AB與直線DC之間的距離為$\frac{{2\sqrt{4{k^2}+1}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$…（5分）
同理，可求BC與AD距離為$\frac{{2\sqrt{4{{（-\frac{1}{k}）}^2}+1}}}{{\sqrt{{{（-\frac{1}{k}）}^2}+1}}}=\frac{{2\sqrt{4+{k^2}}}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$…（6分）
則矩形ABCD的面積為$S=\frac{{2\sqrt{4{k^2}+1}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}•\frac{{2\sqrt{4+{k^2}}}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=4\sqrt{4+\frac{9}{{{k^2}+\frac{1}{k^2}+2}}}$
由均值定理   8＜S≤10…（9分）
僅當(dāng)k²=1，即k=±1時S有最大值10．
因此，當(dāng)k=±1時S有最大值10；
當(dāng)k=0時，S有最小值8．…（10分）

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．