Question

7．設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0（a＞0），q：x∈（2，3]
（1）若命題“若q，則p”為真，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若p是￢q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題“若q，則p”為真，則q是p的充分條件，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若p是￢q的充分條件，根據(jù)條件關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0（a＞0），得（x-a）（x-3a）＜0，
則a＜x＜3a，
即p：x∈（a，3a），
若命題“若q，則p”為真，
即q是p的充分條件，即（2，3]⊆（a，3a），
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a＞3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得1＜a≤2．
（2）￢q：x∈（-∞，2]∪（3，+∞），
若p是￢q的充分條件，
則（a，3a）⊆（-∞，2]∪（3，+∞），
∵a＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{3a≤2}\end{array}\right.$或a≥3，
解得0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥3，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤$\frac{2}{3}$或a≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題之間的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵，