Question

1．若0＜b≤a，證明$\frac{a-b}{a}$≤ln$\frac{a}$≤$\frac{a-b}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx，利用導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，即可證明結(jié)論成立．

解答 證明：設(shè)f（x）=lnx，x＞0，因為0＜b≤a，
所以f（x）=lnx在區(qū)間[b，a]上單調(diào)遞增，在區(qū)間（b，a）內(nèi)可導(dǎo)，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義有：f′（x）=$\frac{△y}{△x}$=$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$  （b＜x＜a），
因為f′（x）=$\frac{1}{x}$，所以有：lna-lnb=$\frac{1}{x}$（a-b）   （b＜x＜a）；
因為0＜b＜x＜a，所以0＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}$，
又a-b≥0，所以$\frac{a-b}{a}$≤$\frac{1}{x}$≤$\frac{a-b}$，
即：$\frac{a-b}{a}$≤ln$\frac{a}$≤$\frac{a-b}$．

點評 本題考查了利用函數(shù)的基本性質(zhì)證明不等式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．