Question

14．已知函數f（x）=x²-2ax+2（a∈R）．
（1）若函數f（x）在（-∞，2）上單調遞減，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f（x）在[-1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數的單調性可得a≥2；
（2）配方，分類討論，求出函數的最小值、最大值，即可求函數f（x）在[-1，2]上的值域．

解答 解：（1）函數f（x）=x²-2ax+2在（-∞，2）上單調遞減，
∴a≥2；
（2）f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²-a²+2．
①當a∈（-∞，-1）時，f（x）在[-1，2）上單調遞增，f（x）_min=f（-1）=2a+3，f（x）_max=f（2）=6-4a，
∴值域[2a+3，6-4a]；
②當a∈[-1，0.5）時，f（x）_min=f（a）=2-a²，f（x）_max=f（2）=6-4a，∴值域[2-a²，6-4a]；
③當a∈[0.5，2]時，f（x）_min=f（a）=2-a²，f（x）_max=f（-1）=2a+3，∴值域[2-a²，2a+3]；
④當a∈（2，+∞）時，f（x）_min=f（2）=6-4a，f（x）_max=f（-1）=2a+3，∴值域[6-4a，2a+3]．

點評 本題考查了二次函數的單調性、值域，考查分類討論的數學思想，正確分類討論是關鍵．