Question

【題目】已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且軸，的周長為6.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得恒成立？請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)時，

【解析】

（Ⅰ）由三角形周長可得，求出，再根據(jù)即可寫出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（Ⅱ）假設(shè)存在常數(shù)滿足條件，分兩類討論（1）當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時，寫出A,B坐標(biāo)，代入可得（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入 中化簡即可求出.

（Ⅰ）由題意，，，

∵的周長為6，∴

∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）假設(shè)存在常數(shù)滿足條件.

（1）當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時，，，

∴ ，

∴當(dāng)時，；

（2）當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，

聯(lián)立，化簡得，

∴，.

∴

∴，解得：即時，；

綜上所述，當(dāng)時，.