Question

在數(shù)列中，（）。從數(shù)列中選出（）項并按原順序組成的新數(shù)列記為，并稱為數(shù)列的項子列，例如：數(shù)列，，，為的一個4項子列。

（1）試寫出數(shù)列的一個3項子列，并使其為等差數(shù)列；

（2）如果為數(shù)列的一個5項子列，且為等差數(shù)列。

證明：的公差滿足；

（3）如果為數(shù)列的一個（）項子列，且為等比數(shù)列。

證明：。

Answer 1

解：（1）答案不唯一. 如3項子列，，；

（2）證明：由題意，所以 .

若  ，由為的一個5項子列，得，

所以 .因為 ，，

 所以 ，即.

 這與矛盾.  所以 .  所以 ，

 因為 ，， 所以 ，

即，               綜上，得.

（3）證明：由題意，設(shè)的公比為，

則 .

因為為的一個項子列，所以 為正有理數(shù)，且，. 設(shè) ，且互質(zhì)，）.

當(dāng)時，因為 ， 所以

，所以 . 

當(dāng)時，因為 是中的項，且互質(zhì)，所以 ， 所以

.

因為 ，，

所以

.

綜上， .