Question

設(shè)函數(shù)，其中和是實(shí)數(shù)，曲線恒與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求常數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求證：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式恒成立.

Answer 1

 解：(1) 對(duì)求導(dǎo)得：，根據(jù)條件知，所以.                                    ……………2分

(2) 由(1)得，

.

① 當(dāng)時(shí)，由于，有，于是在上單調(diào)遞增，從而，因此在上單調(diào)遞增，即而且僅有；

②當(dāng)時(shí)，由于，有，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有；

③當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，[]

即而且僅有.

綜上可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.          ……………8分       

(3) 對(duì)要證明的不等式等價(jià)變形如下：

對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式恒成立.  并且繼續(xù)作如下等價(jià)變形

              

                             

對(duì)于相當(dāng)于（2）中，情形，有在上單調(diào)遞減，即而且僅有.

取，得：對(duì)于任意正整數(shù)都有成立；

對(duì)于相當(dāng)于（2）中情形，對(duì)于任意，恒有而且僅有.

取，得：對(duì)于任意正整數(shù)都有成立.

因此對(duì)于任意正整數(shù)，不等式恒成立