Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.

注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直可得，可求出的值，這時(shí)，討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)知函數(shù)僅當(dāng)時(shí)，取得極值，由即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，令，令，由證之即可.

試題解析： （1）因?yàn)?/span>，所以.………………1分

又據(jù)題意，得，所以，所以.………………2分

所以.

所以.………………3分

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).

所以函數(shù)僅當(dāng)時(shí)，取得極值.………………4分

又函數(shù)在區(qū)間上存在極值，所以，所以.

故實(shí)數(shù)的取值范圍是.………………5分

（2）當(dāng)時(shí)，，即為.………………6分

令，則.

再令，則.

又因?yàn)?/span>，所以.

所以在上是增函數(shù).………………7分

又因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，.

所以在區(qū)間上是增函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)，，又，故.………………9分

令，則.

因?yàn)?/span>，所以.

所以當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).

又，………………11分

所以當(dāng)時(shí)，，

所以，即.………………12分