Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知(n∈N*)．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求證：當(dāng)x>0時(shí)，

（Ⅲ）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為．利用（2）的結(jié)論證明：當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）參考解析；（Ⅲ）參考解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由數(shù)列的求和與通項(xiàng)的等式，遞推一個(gè)等式兩式相減可得到一個(gè)的，的一個(gè)一節(jié)遞推式（）.將等式的兩邊同除以，即可得到是一個(gè)等差數(shù)列，再通過(guò)求出的通項(xiàng)，即可得到的通項(xiàng)式.最后檢驗(yàn)一下n=1時(shí)即可.

（Ⅱ）不等式的證明通過(guò)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的值在大于零恒成立即可.通過(guò)求導(dǎo)可得導(dǎo)函數(shù)恒大于零.所以原函數(shù)在上遞增.函數(shù)的最小值是大于零.

（Ⅲ）由（Ⅰ）得到的數(shù)列可得的通項(xiàng).由于通項(xiàng)中存在的形式.所以奇偶項(xiàng)的符號(hào)不一樣.通過(guò)整理轉(zhuǎn)化為.結(jié)合（Ⅱ）得到的結(jié)論令.可得.這樣就把分?jǐn)?shù)和的形式改為對(duì)數(shù)的和的形式即可.

試題解析：（1）由，得（）         2分

兩式相減，得，即（）

于是，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列    ..       .3分

又，所以.

所以，故.                .5分

（2）令，則，7分

∴在時(shí)單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)， .9分

（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014040804362912668633/SYS201404080437096578341846_DA.files/image027.png">，則當(dāng)n≥2時(shí)，

.                     11分

下面證

令，由（2）可得，所以

，，  ，

以上個(gè)式相加，即有

∴               14分

考點(diǎn)：1.數(shù)列的通項(xiàng).構(gòu)造求通項(xiàng)的思想.3.函數(shù)的求導(dǎo)及單調(diào)性.4.數(shù)列、函數(shù)不等式的應(yīng)用.