Question

如圖，在四凌錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，M是SC的中點，且SA=AB=BC=2，AD=1．
（1）求證：DM∥平面SAB；
（2）求四棱錐S-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（1）要證DM∥平面SAB，可取SB的中點N，連接AN、MN，利用中位線知識及已知條件證明四邊形MNAD是平行四邊形，從而得到DM∥AN，由線面平行的判定得證；
（2）由AB⊥平面SAD，結合線面垂直的性質得到SA⊥AB，再由已知SA⊥CD，利用線面垂直的判定得SA⊥底面ABCD，由直角梯形的面積公式求出底面積，直接代入棱錐體積公式得答案．

解答：（1）證明：如圖，

取SB的中點N，連接AN、MN，
∵點M是SC的中點，∴MN∥BC，且BC=2MN，
∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD，AB⊥BC，BC=2，AD=1，
∴AD∥BC，且BC=2AD，∴MN∥AD，且MN=AD，
∴四邊形MNAD是平行四邊形，∴DM∥AN，
∵DM?面SAB，AN?面SAB，∴DM∥平面SAB；
（2）解：∵AB⊥底面SAD，SA?底面SAD，AD?底面SAD，
∴AB⊥SA，AB⊥AD，∵SA⊥CD，AB、CD是平面ABCD內的兩條相交直線，
∴側棱SA⊥底面ABCD，又在四棱錐S-ABCD中，側棱SA⊥底面ABCD，
底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，
∴VS-ABCD=

1

3

•SABCD•SA=

1

3

•

(2+1)•2

2

•2=2．

點評：本題考查了線面平行的判定，考查了線面垂直的性質，訓練了棱錐體積公式的求法，考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．