Question

12．A、B是半徑為2的圓O上的兩點(diǎn)，M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，若△AOB為直角三角形，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{AM}$的最小值為（　�。�

• A． -1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． 0
• D． 2

Answer 1

分析 $\overrightarrow{OM}$表示成$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}$，從而$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$=$（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}）•\overrightarrow{AM}$，根據(jù)已知條件有∠OAB=45°，$|\overrightarrow{OA}|=2$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算后可得到$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}={\overrightarrow{AM}}^{2}+\sqrt{2}|\overrightarrow{AM}|$，從而得到$|\overrightarrow{AM}|=0$時(shí)，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$取得最小值．

解答 解：如圖，根據(jù)條件知OA⊥OB，∠OAB=45°；
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}=（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AM}）•\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AM}+{\overrightarrow{AM}}^{2}$
=-$\sqrt{2}|\overrightarrow{AM}|+|\overrightarrow{AM}{|}^{2}$；
∴|$\overrightarrow{AM}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{AM}$取最小值-$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的幾何意義，以及數(shù)量積的計(jì)算公式，知道若△AOB是直角三角形，一定∠AOB為直角．