Question

3．定義在[t，+∞）上的函數(shù)f（x）、g（x）單調(diào)遞增，f（t）=g（t）=M，若對(duì)任意k＞M存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=g（x₂）=k成立，則稱g（x）是f（x）在[t，+∞）上的“追逐函數(shù)”，已知f（x）=x²，給出下列四個(gè)函數(shù)：
①g（x）=x；
②g（x）=lnx+1；
③g（x）=2^x-1；
④g（x）=2-$\frac{1}{x}$；
其中f（x）在[1，+∞）上的“追逐函數(shù)”有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 求出M=1，解方程求得x₁，x₂，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和特殊值法，判斷是否存在x₁＜x₂，即可得到結(jié)論．

解答 解：對(duì)于①，可得f（1）=g（1）=1=M，
?k＞1，有x₁²=x₂=k，即為x₁=$\sqrt{k}$，x₂=k，
$\sqrt{k}$＜k顯然成立，存在x₁＜x₂；
對(duì)于②，易得M=1，?k＞1，有x₁²=1+lnx₂=k，
即為x₁=$\sqrt{k}$，x₂=e^k-1，
即有$\sqrt{k}$＜e^k-1?k＜e^2k-2，
由x＞1時(shí)，x-e^2x-2的導(dǎo)數(shù)為1-2e^2x-2＜0，
即有x＜e^2x-2，則存在x₁＜x₂；
對(duì)于③，易得M=1，?k＞1，有x₁²=${2}^{{x}_{2}}$-1=k，
即為x₁=$\sqrt{k}$，x₂=log₂（k+1），
當(dāng)k=100時(shí)，$\sqrt{k}$＞log₂（k+1），
即不存在x₁＜x₂．
對(duì)于④，易得M=1，?k＞1，有x₁²=2-$\frac{1}{{x}_{2}}$=k，
即為x₁=$\sqrt{k}$，x₂=$\frac{1}{2-k}$，
當(dāng)k=4，不存在x₁＜x₂．
故f（x）在[1，+∞）上的“追逐函數(shù)”有①②
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及特殊值的運(yùn)用，考查判斷能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．