Question

【題目】已知四棱臺中，平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，，，，，E為DC中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求三棱錐的高．

（注：棱臺的兩底面相似）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

（1）連結(jié)，可證四邊形為平行四邊形，故可證平面；

（2）連結(jié)BD，在中運(yùn)用余弦定理可得：，利用勾股定理和線面垂直的性質(zhì)，可得平面，因此可證；

（3）根據(jù)題意，不難求，再利用即可求三棱錐的高．

（1）證明：連結(jié)，因?yàn)?/span>為四棱臺，所以，

又因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為平行四邊形，

，，

所以，又，

且，

∴四邊形為平行四邊形，

，

又平面，平面，

平面．

（2）證明：連結(jié)BD，在中運(yùn)用余弦定理可得：，

∴由勾股定理逆定理得，

即．

又平面ABCD，，

平面，

所以．

（3）在中，，，，

所以，

故．

由（1）知，

由（2）知，，所以．

在中，由勾股定理得，

在中，由，可得，

設(shè)O為DB的中點(diǎn)，連結(jié)，

則，且，又，

所以，由勾股定理得，

在中，因?yàn)?/span>，，，

所以，即，

故，

設(shè)所求棱錐的高為h，則，

所以．