Question

【題目】設(shè)、、…、為平面內(nèi)的個點，在平面內(nèi)的所有點中，若點到、、…、點的距離之和最小，則稱點為、、…、點的一個“中位點”，有下列命題：①、、三個點共線，在線段上，則是、、的中位點；②直角三角形斜邊的中點是該直線三角形三個頂點的中位點；③若四個點、、、共線，則它們的中位點存在且唯一；④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點；其中的真命題是（ ）

A.②④B.①②C.①④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據(jù)中位點的定義以及空間中的點與線的位置關(guān)系等逐個證明或舉反例即可.

①若三個點共線,在線段上,根據(jù)兩點之間線段最短,

則是的中位點,正確；
②舉一個反例,如邊長為的直角三角形,此直角三角形的斜邊的中點到三個頂點的距離之和為,而直角頂點到三個頂點的距離之和為7,
∴直角三角形斜邊的中點不是該直角三角形三個頂點的中位點；故錯誤；
③若四個點共線,則它們的中位點是中間兩點連線段上的任意一個點,故它們的中位點存在但不唯一；故錯誤；
④如圖,在梯形中,對角線的交點是任意一點,則根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊得,
∴梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．正確．

故①④正確.
故選：C