Question

3．過橢圓C：3x²+4y²=12的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若A，B兩點(diǎn)到橢圓右準(zhǔn)線的距離之和為7，求此直線的方程．

Answer 1

分析 設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A，B到橢圓右準(zhǔn)線的距離分別為d₁，d₂．先看當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線的方程為x=1，求得d₁+d₂=6≠7，不符合題意；再看當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂的表達(dá)式，根據(jù)d₁+d₂=7求得x₁+x₂的值，進(jìn)而建立等式求得k，則直線方程可得．

解答 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A，B到橢圓右準(zhǔn)線的距離分別為d₁，d₂．右準(zhǔn)線方程為x=4
（1）若直線的方程為x=1，有x₁=x₂=1，d₁=d₂=4-1=3，d₁+d₂=6≠7，不合題設(shè)．
（2）若直線的方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$
∵d₁=4-x₁，d₂=4-x₂，d₁+d₂=7
∴x₁+x₂=1
∴$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=1
解得：k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴直線的方程為：y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-1）．

點(diǎn)評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．對于直線的方程問題，一定要分斜率存在和不存在兩種情況討論．