Question

10．己知某氣墊船的最大船速為48海里每小時，船每小時使用的燃料費用和船速的平方成正比，若船速為30海里每小時，則每小時的燃料費用為600元，其余費用（不論船速多少）都是每小時864元，甲乙兩地相距100海里，船從甲地行駛到乙地．
（1）試把船從甲地行駛到乙地所需的總費用y元表示成船速x海里每小時的函數(shù)；
（2）當船速為多少海里每小時時，總費用最少？最少總費用為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）利用基本不等式進行求解即可．

解答 解：（1）設(shè)船速為x，每小時使用的燃料費用E=ax²，
已知船速為30海里/時，每小時的燃料費用為600元，
則：600=a•30²；
得a=$\frac{2}{3}$，
從甲地到乙地的總費用：
y=$\frac{2}{3}$•x²•$\frac{100}{x}$+864•$\frac{100}{x}$=$\frac{200x}{3}$+$\frac{86400}{x}$，（0＜x≤48）．
（2）∵y=$\frac{200x}{3}$+$\frac{86400}{x}$，（0＜x≤48）．
∴y=$\frac{200x}{3}$+$\frac{86400}{x}$≥2$\sqrt{\frac{200x}{3}•\frac{86400}{x}}$=2×2400=4800，
當且僅當$\frac{200x}{3}$=$\frac{86400}{x}$，即x=36，
即當船速為36海里每小時，總費用最少，最少總費用為4800元．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)的應(yīng)用問題，利用基本不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．