Question

已知函數f（x）=

ex-1

ex+1

（1）試判斷該函數的奇偶性，并加以證明；
（2）當f（x）＜a恒成立時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的性質,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義進行判斷即可，
（2）求出函數f（x）的取值范圍，利用不等式恒成立即可得到結論．

解答： 解：（1）定義域為R，
f（-x）=

e-x-1

e-x+1

=

1-ex

1+ex

=-

ex-1

ex+1

=-f（x），則函數f（x）是奇函數．
（2）∵f（x）=

ex-1

ex+1

=

ex+1-2

ex+1

=1-

2

ex+1

，
∴e^x+1＞1，-1＜

ex-1

ex+1

＜1，
∴要使f（x）＜a恒成立時，則a≥1．
即a的取值范圍為[1，+∞）．

點評：本題主要考查函數單調性和奇偶性的判斷，利用指數函數的圖象和性質是解決本題的關鍵．