Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，并且滿足2S_n=${a}_{n}^{2}$+n，a_n＞0．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并猜想a_n的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）分別令n=1，2，3，能夠求出求a₁，a₂，a₃，猜想：a_n=n，
（2）由2S_n=a_n²+n可知，當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=a_n-1²+（n-1），所以a_n²=2a_n+a_n-1²-1再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=a₁²+1=2a₁，解得a₁=1，
當(dāng)n=2時(shí)，2S₂=a₂²+2=2a₁+2a₂，解得a₂=2，
當(dāng)n=3時(shí)，2S₃=a₃²+3=2a₁+2a₂+2a₃，解得a₃=3，
并猜想a_n=n
（2）①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，a_k=k．
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，
∵2S_k+1=a_k+1²+k+1，∴2（a_k+1+S_k）=a_k+1²+k+1，
∴a_k+1²=2a_k+1+2S_k-（k+1）=2a_k+1+（k²+k）-（k+1）=2a_k+1+（k²-1）⇒[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0．
∵a_k+1+（k-1）＞0，∴a_k+1=k+1，這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，
故對于n∈N*，均有a_n=n．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列和不等式的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要注意各種不同解法的應(yīng)用，多嘗試一題多解能夠有效地提高解題能力．屬中檔題．