Question

3．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，且|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$．
（1）求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$及$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的射影；
（2）求2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$夾角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）把|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$兩邊平方代入已知數(shù)據(jù)可求$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，進(jìn)而代入可得射影|$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}$的值；
（2）由題意可得|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|和（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$），由夾角公式可得．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=1，且|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）²=7，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+4${\overrightarrow}^{2}$=7，
代入數(shù)據(jù)可得4-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+4=7，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{4}$，
∴$\overrightarrow$在$\overrightarrow{a}$方向上的射影|$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{1}{8}$；
（2）由題意可得|2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}+\overrightarrow）^{2}}$=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}}$
=$\sqrt{4×4+4×\frac{1}{4}+1}$=3$\sqrt{2}$，
（2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=2${\overrightarrow{a}}^{2}$-3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=8-$\frac{3}{4}$-2=$\frac{21}{4}$，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{2a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow）}{|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow||\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|}$=$\frac{21}{4×3\sqrt{2}×\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{14}}{8}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)量積與向量的夾角，涉及模長(zhǎng)公式和夾角公式以及射影，屬中檔題．