Question

15．在等腰直角△ABC中，∠A=90°，BC=6，△ABC中排列著內(nèi)接正方形，如圖所示，若正方形的面積依次為S₁，S₂，…，S_n，…（從大到小），其中n∈N⁺，則$\underset{lim}{n→∞}$（S₁+S₂+…+S_n）=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 通過相似三角形的相似比可知任意兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)比為定值，進(jìn)而計(jì)算可知S_n=$\frac{4}{{9}^{n-1}}$，求和取極限即可．

解答 解：設(shè)最大的內(nèi)接正方形EFDH的邊長(zhǎng)為x，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BEF=∠CHD=∠FBE=∠DCH=45°，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，BE=$\sqrt{2}$x，
∴AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
又∵BC=6，
∴$\sqrt{{S}_{1}}$=EH=2，
∴數(shù)列{$\sqrt{{S}_{n}}$}構(gòu)成首項(xiàng)為2，公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴S_n=$（\frac{2}{{3}^{n-1}}）^{2}$=$\frac{4}{{9}^{n-1}}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（S₁+S₂+…+S_n）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{4（1-\frac{1}{{9}^{n}}）}{1-\frac{1}{9}}$=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{9}^{n-1}}$）=$\frac{9}{2}$，
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查極限思想，找出數(shù)列的公比是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．