Question

【題目】正方體中，點在線段上運動（包括端點），則與所成角的取值范圍是_______．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，設(shè)動點的的坐標(biāo)，根據(jù)棱長寫出點的坐標(biāo)，進(jìn)而寫出向量的坐標(biāo)，用夾角公式寫出向量夾角的余弦值，根據(jù)二次函數(shù)及余弦函數(shù)的性質(zhì)取最大、最小值，進(jìn)而可求角的取值范圍。

詳解：以點C為圓心，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系。

設(shè)正方體的棱長為1，則 、 。

設(shè)點 。

則

設(shè)與的夾角為，由夾角公式得

當(dāng)時， 取最大值，根據(jù)余弦函數(shù)在上為減函數(shù)，

因為，所以此時取最小值。

因為點在線段上運動（包括端點），所以。

根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可知當(dāng)時， 取最小值 。

根據(jù)余弦函數(shù)在上為減函數(shù)，因為，所以此時取最大值。

所以，

所以與所成角的取值范圍是 。