Question

【題目】如圖是一正方體的表面展開圖.、、都是所在棱的中點.則在原正方體中：①與異面；②平面；③平面平面；④與平面形成的線面角的正弦值是；⑤二面角的余弦值為.其中真命題的序號是______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

將正方體的表面展開圖還原成正方體，利用正方體中線線、線面以及面面關系，以及直線與平面所成角的定義和二面角的定義進行判斷.

根據條件將正方體進行還原如下圖所示：

對于命題①，由圖形可知，直線與異面，命題①正確；

對于命題②，、分別為所在棱的中點，易證四邊形為平行四邊形，

所以，，平面，平面，平面，命題②正確；

對于命題③，在正方體中，平面，

由于四邊形為平行四邊形，，平面.

、平面，，.

則二面角所成的角為，顯然不是直角，

則平面與平面不垂直，命題③錯誤；

對于命題④，設正方體的棱長為，易知平面，則與平面所成的角為，由勾股定理可得，，

在中，，即直線與平面所成線面角的正弦值為，命題④正確；

對于命題⑤，在正方體中，平面，且，平面.

、平面，，，

所以，二面角的平面角為，

在中，由勾股定理得，，

由余弦定理得，命題⑤錯誤.

故答案為：①②④.