Question

已知函數(shù)，.

（Ⅰ）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若對(duì)，總有成立.

（1）求的取值范圍；

（2）證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式

恒成立.

Answer 1

解：（Ⅰ），定義域?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2015/06/28/15/2015062815252795378922.files/image232.gif'>，

，        …… 1分

（1）當(dāng)時(shí)，令，，，

令， ；                      

（2）當(dāng)時(shí)，令，則或， 

令， ；                         …… 3分                 

（3）當(dāng)時(shí)，恒成立；              

（4）當(dāng)時(shí)，令，則或，

令， ；                     …… 4分

綜上：當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，的減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為和，的減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為和，的減區(qū)間為.  ……5分

（Ⅱ）（1）由題意，對(duì)任意，恒成立，即恒成立，

     只需.                             ……6分

由第（Ⅰ）知：                     

，顯然當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)對(duì)任意，

不能恒成立； （或者分逐個(gè)討論）               …… 8分

當(dāng)時(shí)，，；

綜上：的取值范圍為.                         …… 9分

（2）證明：由（1）知：當(dāng)時(shí)，，……10分

即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

當(dāng)時(shí)，可以變換為，                     …… 12分

在上面的不等式中，令，則有

不等式恒成立.