Question

已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（x），若y=f（x-1）的象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且f（1）=2，則f（2013）=（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、0

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意，知函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，令x=-2，可求得f（2）=0，繼而可得y=f（x）是以4為周期的函數(shù)，且f（1）=2，于是可求得f（2013）的值．

解答： 解：∵y=f（x-1）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱，
∴函數(shù)y=f（x）為偶函數(shù)，
∴f（-2）=f（2），
令x=-2，得：f（-2+4）-f（-2）=2f（2），
即f（2）-f（2）=2f（2），
∴f（2）=0，
∴f（x+4）-f（x）=0，
即f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)y=f（x）是以4為周期的函數(shù)，且f（1）=2，
∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其性質(zhì)，著重考查函數(shù)的奇偶性與周期性的確定與應(yīng)用，屬于中檔題．