Question

已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）求、的值；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）證明：當(dāng)，且時(shí)，.

 

Answer 1

（1），；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）利用已知條件得到兩個(gè)條件：一是切線的斜率等于函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，二是切點(diǎn)在切線上也在函數(shù)的圖象上，通過切點(diǎn)在切線上求出的值，然后再通過和的值列有關(guān)、的二元一次方程組，求出、的值；（2）解法1是利用參數(shù)分離法將不等式在區(qū)間上恒成立問題轉(zhuǎn)化為不等式在區(qū)間上恒成立，并構(gòu)造函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，從而求出的取值范圍；解法2是構(gòu)造新函數(shù)，將不等式在區(qū)間上恒成立問題轉(zhuǎn)化為不等式在區(qū)間上恒成立問題，等價(jià)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，通過在不同取值條件下確定函數(shù)的單調(diào)性求出，圍繞

列不等式求解，從而求出的取值范圍；（3）在（2）的條件下得到，在不等式兩邊為正數(shù)的條件下兩邊取倒數(shù)得到，然后分別令、、、、，利用累加法以及同向不等式的相加性來證明問題中涉及的不等式.

試題解析：（1），.

直線的斜率為，且過點(diǎn)，

，即解得，；

（2）解法1：由（1）得.

當(dāng)時(shí)，恒成立，即，等價(jià)于.

令，則.

令，則.

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故.

從而，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故.

因此，當(dāng)時(shí)，恒成立，則.

所求的取值范圍是；

解法2：由（1）得.

當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立.

令，則.

方程（*）的判別式.

（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，，得，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減.

由于，

則當(dāng)時(shí)，，即，與題設(shè)矛盾；

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，則時(shí)，.

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，符合題意；

（ⅲ）當(dāng)，即時(shí)，方程（*）的兩根為，，

則時(shí)，，時(shí)，.

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

從而，函數(shù)在上的最大值為.

而，

由（ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，

得，從而.

故當(dāng)時(shí)，，符合題意.

綜上所述，的取值范圍是.

（3）由（2）得，當(dāng)時(shí)，，可化為，

又，從而，.

把、、、、分別代入上面不等式，并相加得，

.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.不等式恒成立；3.參數(shù)分離法；4.分類討論；5.數(shù)列不等式的證明