Question

17．過(guò)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左焦點(diǎn)F（-c，0）（c＞0），作圓x²+y²=a²的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交雙曲線右支于點(diǎn)P，若$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OP}}）$，則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $2\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 由題意可知E是PF的中點(diǎn)，OE為△FF′P的中位線，根據(jù)三角形中位線定理及雙曲線的定義，即可求得a與b的關(guān)系，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)F′（c，0），
則|OF|=c，|OE|=a，
∴|EF|=b，
∵$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{OP}}）$，則E是PF的中點(diǎn)，OE為△FF′P的中位線，
則|PF|=2丨EF丨=2b，|PF'|=2a，
∵由雙曲線的定義：|PF|-|PF'|=2a，則b=2a，
∴雙曲線的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查雙曲線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．