Question

19．雙曲線$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$的兩漸近線與圓x²+y²-2ax+1=0沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（-\frac{{\sqrt{5}}}{2}，-1）∪（1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$．

Answer 1

分析 求出雙曲線$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$的兩漸近線方程、圓x²+y²-2ax+1=0的圓心坐標(biāo)、半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式，建立不等式，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$的兩漸近線方程為y=±$\frac{1}{2}$x，圓x²+y²-2ax+1=0的圓心坐標(biāo)為（a，0），半徑為$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∵雙曲線$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$的兩漸近線與圓x²+y²-2ax+1=0沒(méi)有公共點(diǎn)，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{|a|}{\sqrt{5}}$＞$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∴a∈$（-\frac{{\sqrt{5}}}{2}，-1）∪（1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$，
故答案為$（-\frac{{\sqrt{5}}}{2}，-1）∪（1，\frac{{\sqrt{5}}}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．