Question

已知函數(shù).
（1）試問的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
（2）定義，其中，求；
（3）在（2）的條件下，令.若不等式對且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

解析試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)解析式的特點(diǎn)直接代入計(jì)算的值；（2）利用（1）中條件的條件，并注意到定義中第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和這一條件，并利用倒序相加法即可求出的表達(dá)式，進(jìn)而可以求出的值；（3）先利用和之間的關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后在不等式中將與含的代數(shù)式進(jìn)行分離，轉(zhuǎn)化為恒成立的問題進(jìn)行處理，最終利用導(dǎo)數(shù)或作差（商）法，通過利用數(shù)列的單調(diào)性求出的最小值，最終求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
試題解析：（1）的值為定值2.
證明如下：
.
（2）由（1）得.
令，則.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/63/39/63a396efd937e0b9e9373a367465407f.png" style="vertical-align:middle;" />①，
所以②，
由①+②得，所以.
所以.
（3）由（2）得，所以.
因?yàn)楫?dāng)且時(shí)，
.
所以當(dāng)且時(shí)，不等式恒成立.
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/92/7/18opm3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以當(dāng)且時(shí)，.
由，得，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
考點(diǎn)：函數(shù)、倒序相加法、導(dǎo)數(shù)