Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n+S_n=n
（1）設c_n=a_n-1，求證：{c_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過a_n+S_n=n與a_n+1+S_n+1=n+1作差、整理可知a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），進而可知數(shù)列{c_n}是以-$\frac{1}{2}$為首項、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）通過（1）可知c_n=a_n-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，進而可知a_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

解答 （1）證明：∵a_n+S_n=n，
∴a_n+1+S_n+1=n+1，
兩式相減得：a_n+1-a_n+a_n+1=1，
整理得：a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），
又∵c_n=a_n-1，
∴c_n+1=$\frac{1}{2}$c_n，
又∵a₁+a₁=1，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴c₁=a₁-1=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{c_n}是以-$\frac{1}{2}$為首項、$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知，c_n=a_n-1=-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴a_n=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，注意解題方法的積累，屬于基礎題．