Question

8．已知直線l：3x+4y+3=0和圓C：x²+y²-2x-2y+1=0．
（Ⅰ）判斷直線l與圓C的位置關系；
（Ⅱ）若P是直線l上的動點，PA是圓C的一條切線，A是切點，求三角形PAC的面積S的最小值．

Answer 1

分析 （I）判斷圓心C（1，1）到直線l：3x+4y+3=0的距離為d＞r，即可判斷；
（II）由切線的性質可知，PA⊥AC，若使得$PA=\sqrt{P{C}^{2}-1}$取得最小值，則只要PA取得最小值，即可求解

解答 解：圓C：x²+y²-2x-2y+1=0化為標注方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，圓心坐標為C（1，1），半徑為r=1
（I）∵圓心C（1，1）到直線l：3x+4y+3=0的距離為d=$\frac{|3×1+4×1+3|}{5}$=2＞r
∴直線l與圓相離；
（II）由切線的性質可知，PA⊥AC，且AC=1
∴$PA=\sqrt{P{C}^{2}-1}$
當PC⊥l時，PC取得最小值2
∴PA的最小值為$\sqrt{3}$
此時，△PAC面積取得最小值S_△PAC=$\frac{1}{2}PA×AC$=$\frac{1}{2}PA$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點評 本題主要考查直線與圓的位置關系，在求直線上點與已知點的距離的最小值時，常轉化為求點到直線的距離．