Question

4．已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx-2$\sqrt{3}$cos²ωx相鄰對(duì)稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A． f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{4}$）上單調(diào)遞增
• B． f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心為（$\frac{π}{6}$，-$\sqrt{3}$）
• C． 當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閇-2$\sqrt{3}$，0]
• D． 將f（x）的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，再向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位后得到y(tǒng)=2sin（4x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用二倍角公式及輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，根據(jù)周期公式求ω的值，從而可求f（x）的表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)判斷即可．

解答 解：f（x）=sin2ωx-$\sqrt{3}$cos2ωx-$\sqrt{3}$=2sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
因?yàn)?\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，所以T=π，ω=1．
所以f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，
對(duì)于A，由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
得：-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，
∴f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{4}$）上單調(diào)遞增，故A正確，
對(duì)于B，由2x-$\frac{π}{3}$=kπ，得：x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
x=$\frac{π}{6}$時(shí)，y=-$\sqrt{3}$，
故f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心為（$\frac{π}{6}$，-$\sqrt{3}$），故B正確，
對(duì)于C，當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
x=$\frac{5}{12}$π時(shí)，f（x）最大，最大值是2-$\sqrt{3}$，
x=$\frac{2}{3}$π時(shí)，f（x）最小，最小值是-2-$\sqrt{3}$，
f（x）的值域?yàn)閇-2-$\sqrt{3}$，2-$\sqrt{3}$]，故C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，將f（x）的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$，再向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位后得到y(tǒng)=2sin（4x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，故D正確，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式把不同名的三角函數(shù)含為一個(gè)角的三角函數(shù)，進(jìn)而研究三角函數(shù)的性質(zhì)：周期性及周期公式，函數(shù)的最值的求解．