Question

11．如圖，過(guò)圓外一點(diǎn)P分別作⊙O的兩條切線PA，PB和一條割線PDC，記PA的中點(diǎn)為M，連接CM與AB交于點(diǎn)E．求證：DE∥PA．

Answer 1

分析 利用三角形相似的性質(zhì)，結(jié)合梅涅勞斯定理$\frac{AM}{MP}•\frac{PC}{CF}•\frac{FE}{EA}$=1，證明$\frac{FE}{EA}=\frac{CF}{PC}=\frac{DF}{PD}$，即可證明DE∥AP．

解答 證明：設(shè)AB，CD的交點(diǎn)為F，連接BC，AD，AC
則由切割線定理知△PBD∽△PCB，△PAD∽△PCA
即有$\frac{PB}{PC}=\frac{PD}{DB}=\frac{BD}{BC}$，$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PA}=\frac{AD}{AC}$，
又PA=PB
∴$\frac{P{B}^{2}}{P{C}^{2}}$=$\frac{BD}{BC}$•$\frac{AD}{AC}$=$\frac{BD}{BC}$•$\frac{AD}{BC}$=$\frac{DF}{AF}$•$\frac{DF}{BF}$=$\frac{D{F}^{2}}{DF•CF}$=$\frac{DF}{CF}$
而PB²=PD•PC，∴$\frac{PD}{PC}$=$\frac{DF}{CF}$
∴$\frac{DF}{PD}$=$\frac{CF}{PC}$
又C，E，M為△APF的割線，M為AP中點(diǎn)
∴由梅涅勞斯定理$\frac{AM}{MP}•\frac{PC}{CF}•\frac{FE}{EA}$=1
可得$\frac{FE}{EA}=\frac{CF}{PC}=\frac{DF}{PD}$，∴DE∥AP

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的性質(zhì)、梅涅勞斯定理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．