Question

扇形OAB的圓心角∠AOB=

2π

3

，點P在圓弧AB上運動，且滿足

OP

=x

OA

+y

OB

，則x+y的取值范圍為

[1，2]

．

Answer 1

分析：

OC

與

OA

夾角為θ（0≤θ≤

2π

3

），設

OA

為直角坐標系的x軸，求出三個向量坐標，進而利用同角三角函數的平方關系，可得到x+y=2sin（θ+

π

6

），結合三角函數的圖象和性質，可得答案．

解答：解：記

OC

與

OA

夾角為θ（0≤θ≤

2π

3

），設

OA

為直角坐標系的x軸．
則

OC

=（cosθ，sinθ），

OA

=（1，0），

OB

=（-

1

2

，

3

2

）
代入

OC

=x

OA

+y

OB

，有（cos θ，sin θ）=（x，0）+（-

y

2

，

3 y

2

）
聯立方程組：x-

y

2

=cosθ，

3 y

2

=sin θ
故x+y=2sin（θ+

π

6

）
∵0≤θ≤

2π

3

，
∴

π

6

≤θ+

π

6

≤

5π

6

當θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

3

時，x+y取最大值2
當θ+

π

6

=

π

6

或

5π

6

，即θ=0＜或

2π

3

時，x+y取最小值1
故答案為：[1，2]

點評：本題考查的知識點是平面向量的基本定理及其意義，其中建立坐標系，引入坐標法是解答的關鍵．