Question

【題目】如圖，PQ為某公園的一條道路，一半徑為20米的圓形觀賞魚塘與PQ相切，記其圓心為O，切點(diǎn)為G．為參觀方便，現(xiàn)新修建兩條道路CA、CB，分別與圓O相切于D、E兩點(diǎn)，同時與PQ分別交于A、B兩點(diǎn)，其中C、O、G三點(diǎn)共線且滿足CA＝CB，記道路CA、CB長之和為．

（1）①設(shè)∠ACO＝，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)AB＝2x米，求出關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

（2）若新建道路每米造價一定，請選擇（1）中的一個函數(shù)關(guān)系式，研究并確定如何設(shè)計(jì)使得新建道路造價最少．

Answer 1

【答案】（1）① 其中 ② 其中（2）當(dāng)時，取得最小值，新建道路何時造價也最少

【解析】

(1) ①根據(jù)直角三角形得，即得，再根據(jù)直角三角形得，最后根據(jù) 得結(jié)果. ②根據(jù)三角形相似得 ，即得結(jié)果，(2) 選擇（1），利用導(dǎo)數(shù)求最值，即得結(jié)果.

解：（1）①在中，，所以，所以

在中，

所以 ，其中，

②設(shè)，則在中，由與相似得，,即，即，即，即即，化簡得， 其中

（2）選擇（1）中的第一個函數(shù)關(guān)系式研究.

令，得.

令,當(dāng)時，，所以遞減；

當(dāng)時，，所以遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，新建道路何時造價也最少