Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，見解析（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，從而確定的最小值即可．

解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>.

，由，或，

①當(dāng)時(shí)，，，在上為增函數(shù)，

，，在上為減函數(shù)，

，，在上為增函數(shù).

②當(dāng)時(shí)，，，在上為增函數(shù)，

，，在上為增函數(shù).

③當(dāng)時(shí)，，，在上為減函數(shù)，

時(shí)，，在上為增函數(shù).

（2），設(shè)則

，

因?yàn)?/span>，令，得.

設(shè)，由于在上單遞增，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以存在唯一，使得，即.

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，

，

因?yàn)?/span>恒成立，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，.

所以當(dāng)，即，時(shí)，.

所以，即.

.

設(shè)，，

則.

令，解得：，

故在遞減，在遞增，

故，

故即，時(shí)，．