Question

如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面ABC，，，且為AC中點(diǎn)。

證明：平面ABC；

求直線與平面所成角的正弦值；

在上是否存在一點(diǎn)E，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點(diǎn)E的位置。

Answer 1

（Ⅰ）見解析    （Ⅱ）  （Ⅲ）存在這樣的點(diǎn)E，E為的中點(diǎn)

解析:

（Ⅰ）證明：因?yàn)?img width=63 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/1/37201.gif" >，且O為AC的中點(diǎn)，

         所以.                                 ………………1分

         又由題意可知，平面平面，交線為，且平面，

         所以平面.                                ………………4分

（Ⅱ）如圖，以O為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意可知，又

所以得:

則有：       ………………6分

     設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有

         ，令，得

      所以.                      ………………7分

      .                ………………9分

      因?yàn)橹本�與平面所成角和向量與所成銳角互余，

所以.               ………………10分

（Ⅲ）設(shè)                        ………………11分

即，得

所以得      ………………12分

      令平面，得 ，                 ………………13分

      即得即存在這樣的點(diǎn)E，E為的中點(diǎn).    …14分